L'écoulement de l'Univers

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des substances fluides visqueuses. Ces équations de bilan découlent de l'application de la deuxième loi d'Isaac Newton au mouvement des fluides.

Les équations

Les équations de Navier-Stokes incompressibles peuvent s'écrire ainsi :

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}

Détaillons les termes :

Accélération instationnaire ( $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ ) : Le taux de variation de la vitesse par rapport au temps.
Accélération convective ( $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$ ) : L'accélération d'une particule de fluide due à son mouvement.
Gradient de pression ( $-\frac{1}{\rho} \nabla p$ ) : La force due aux différences de pression.
Viscosité ( $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$ ) : Le frottement interne du fluide.
Forces volumiques ( $\mathbf{f}$ ) : Forces externes comme la gravité.

Un problème du prix du millénaire

Malgré leur importance physique, nous ne savons toujours pas si des solutions lisses existent toujours en trois dimensions. Cela en fait l'un des sept problèmes du prix du millénaire en mathématiques.

Dynamique des fluides numérique (CFD)

Puisque les solutions analytiques sont rares, nous utilisons souvent des ordinateurs pour résoudre ces équations numériquement :

function simulerFluide(grille, dt) {
  // 1. Ajouter les forces
  appliquerForces(grille, dt);
  
  // 2. Advecter (déplacer le fluide sur lui-même)
  advecter(grille, dt);
  
  // 3. Diffuser (viscosité)
  diffuser(grille, dt);
  
  // 4. Projeter (assurer l'incompressibilité)
  projeter(grille);
  
  return grille;
}

Comprendre ces équations est crucial, de la conception des avions aux prévisions météorologiques.